十个核心词的实践解读，总算写完了。拖了几年，固然是由于本职事情缠身，更紧张的缘故原由，是在撰写过程中创造了一些新问题，为使“实践解读”名副实在，只有通过实践加以实证，才敢初步回答。回溯式研究与探索性研究相结合，是笔者的研究特点之一，习气使然。
边探索、边撰写的内驱力，既来自教研事情的须要，也来自《小学数学西席》编辑部的期望。记得2012年初夏，蒋徐巍副主编来访，笔者随手翻出新近出版的一期刊物，指出个中一组有关数感培养的课例研讨文章，存在数感、量感混为一谈的问题。蒋主编也非常感慨，十多年了，这个问题一贯未见来稿磋商，于是当场约稿，并表示编辑部有耐心等待，希望十篇成一系列。艰辛的“实践解读”之旅，由此开始。
在陆续刊发过程中，多次有读者问：数感等名词，到底是“核心观点”，还是“核心词”？由“数学课程标准研制组”撰写的两部解读专著，无论是实验稿的解读还是2011年版的解读，都称其为“核心观点”。笔者冠以“核心词”，紧张依据2011年版的课标文件本身，个中评价建议第七条的第2点：“在设计试题时，该当关注并且表示本标准的设计思路中提出的几个核心词：数感、……、创新意识。”这是“核心词”的出处。
有学者认为：“核心观点”是借鉴西方big idea 的提法，在翻译时将idea译成了观点，不少数学教诲文献中的idea便是观点的意思。
然而，对付体会不到“核心观点”与“big idea”异曲同工的数学西席来说，反倒以为是数学知识中的核心观点。为了避免误解，觉得称“核心词”更妥当一些。
在持续的研究、撰写过程中，笔者不断产生以历史的视角梳理我国小学数学课程“核心词”嬗变的冲动，也断断续续做了一些研究，由于“以史为鉴，可以知兴替”。本文的内容，在近几年应师范院校与西席培训机构约请所作的讲座里，已与各地同仁有过多次互换。大家的认同、期待，给了笔者撰写成文极大的鼓励。
回 顾
1. 最初形态
在我国，建立小学堂并教授算学，始于清末。第一部由政府法定并实行的学制“癸卯学制”即《奏定学堂章程》（1904），基本模拟日本，对全体学校教诲作出了设计。个中，《奏定初等小学堂章程》提出的算术课程目标，紧张的是“使知日用之打算”；《奏定高档小学堂章程》的相应目标连续是“使习四民必需之算法”。 （“四民”是我国古代对平民职业的基本划分，指士（学者）、农、工、商，但次序历代有所不同）
辛亥革命后，在我国第二部公布并实行的“壬子癸丑学制”中，《教诲部订定小学校教则及课程表》（1912）对该目标的表述是“认识日用之打算”。
清末民初的这一目标，非常简练，却已涉及我们本日所说的两个核心词“运用意识”与“运算能力”，可以说是小学数学课程这两个核心词的最初形态。
当时，算术课程的其他目标紧张是“兼使风雅其心思”“兼使思考精确”，显然只哀求兼顾，还称不上课程的“核心”哀求。
之后，由照搬日本转向学习美国，民国期间其他一系列课程标准，总目标有四条、有三条，内涵、表述每次也都不尽相同，但强调度决日常生活问题和打算能力始终没变。
2. 新中国成立后至20世纪末的变革发展
新中国成立后，1950年公布的《小学算术课程暂行标准（草案）》，与新中国成立前比较，“日用”与“打算”的传授教化目标变革不大，最明显的变革是第一次在算术传授教化中提出了对儿童进行思想风致教诲的哀求：“培养儿童爱国主义思想，并加强科学、爱护公共财物等国民公德。”这是“改造旧教诲”的光鲜表示，也是学科德育的最初表述。
1952年的《小学算术传授教化大纲（草案）》，将延续了半个世纪的“课程标准”改称“传授教化大纲”，课程“目标”改为传授教化“任务”“目的”。仅从名称就能显示由“改造旧教诲”到“学习苏联”的嬗变。本色性的变革是首次提出了节制“直不雅观几何知识”的哀求，还特殊提到了“算术传授教化该当培养和发展儿童的逻辑思维”。这是“推理能力”的最初提法。
1963年的《整日制小学算术传授教化大纲（草案）》，明确提出“小学算术传授教化的目的是：使学生稳定地节制算术和珠算的根本知识，培养学生精确地、迅速地进行四则运算的能力，精确地解答应用题的能力，以及初步的逻辑推理的能力和空间不雅观念，以适应他们毕业后参加生产劳动和进一步学习的须要”。（着重号为笔者所加）它一方面标志着我国小学数学学科开始进入“双基”时期，开始关注数学学习的“双重功能”，即适应学生今后的实用须要和学习须要；另一方面还标志着我国小学数学传授教化的“核心词”由三个发展成四个。
同年颁布的《整日制中学数学传授教化大纲(草案)》，关于“中学数学传授教化的目的是：使学生稳定地节制代数、平面几何、立体几何、三角和平面解析几何的根本知识，培养学生精确而且迅速的打算能力、逻辑推理能力和空间想象能力，以适应参加生产劳动和进一步学习的须要”。摘录这段笔墨是想澄清一个误传，所谓数学的“三大能力”是指中学，小学从1963年起便是“四大能力”。
1978年的《整日制十年制学校小学数学传授教化大纲(草案)》，完成了“小学算术”到“小学数学”的蜕变，并保留了“四大能力”（只是将“解答应用题的能力”改成“ 办理大略实际问题”）。由此一贯延续到21世纪初。
“四大能力”的表述，始终不变的是“空间不雅观念”，自1953年大纲（1952年大纲的修订稿）在解释几何初步知识传授教化浸染时首次提出后，一贯沿用至今。变革最频繁的是“推理能力”，从“思考精确”开始，到“逻辑思维”，再到“逻辑推理能力”，又回到“逻辑思维能力”（1978～1992），钟摆征象比较明显。
3. 21世纪以来的变革发展
21世纪初开始的新一轮课程改革，丰富了数学教诲的内涵，数学课程的核心词也在增多。先是六个“数感、符号感、空间不雅观念、统计不雅观念、运用意识、推理能力”（2001），然后是十个“数感、符号意识、空间不雅观念、几何直不雅观、数据剖析不雅观念、运算能力、推理能力、模型思想、运用意识、创新意识”（2011）。
对照前面的传授教化大纲，核心词的数量：由四个到六个，是有减有加，即去掉了“打算能力”，弥补了三个；由六个到十个，是把“打算能力”又要回来之后，再追加了三个。核心词的表述，也有变革，如“办理大略实际问题”换成了“运用意识”，“逻辑思维能力”演化为“推理能力”等。当然，更为主要的是词的内涵也在逐步发展、变革，这在“实践解读”系列里已有较多阐述，本文就不重复了。
反 思
1. 回归生活，应该有质的提升
21世纪初启动的新一轮课改，提出了一系列改革理念，在小学数学传授教化中，被大家最快接管并广泛付诸实践的理念当数“回归儿童生活”。由于它最具操作性，且历来为小学西席所善于，只要在原有根本上再多加一点生活味，给每道例题都编一个生活情境，至少在表现形式上表示课改理念了。西席们的履历总结，最为集中的也是“生活数学”。
回顾历史，小学数学的前身小学堂算术从它出身之日起，就十分重视运用于生活，学习算术便是为了“认识日用打算”。这样的课程目标，与我国数学以实际问题为载体，研究解题术的传统一脉相承，也符合当时的社会须要。要知道，当时每天就着石油灯记流水账的是小康人家。一贯到新中国成立后，小学算术课程还在为这一现实须要供应做事，以是珠算是每个小学生的必修内容。这些都具有特定历史条件下的合理性。到如今，一百多年过去了，社会发生了天翻地覆的变革，难道数学这门学科还要回归油盐柴米的打算吗？
小学数学教诲的目的，从根本上讲，是为了提高公民素养，即自身发展的须要；从实用角度看，学习的终极目的在于运用，但运用的各种须要，存在轻重缓急之分。笔者以为，对付小学生而言，首先该当是知足进一步学习数学以及其他学科的须要，也差不多等同于知足自身发展的须要，其次才是知足日常生活的数学须要、就业的数学须要。由于等待着小学生的是连续学习。我们不能不顾紧接着的学习生涯的须要、自身发展的须要，而只考虑眼下儿童生活的须要和多少年后自谋生计、创业的须要。
事实上，当下儿童生活的数学须要已经发生不小的变革。比如，元、角、分换算的很多练习，之以是受到西席的诟病，不便是由于它分开了儿童现实生活的需求吗？
再说，小学数学的传授教化内容，也不全是日常生活所须要的。
例如，用量角器量角，你在生活中用到过这一技能吗？对付“生活”来说，它不愧为“屠龙之技”。
又如，用“底×高÷2”的公式算三角形面积。笔者影象中曾看到一个研究数据，表明这一公式的实际运用率极低，但苦于找不到出处。于是，请部分学校在给家长的调查问卷中加一问题：“您在日常生活与事情中利用过‘底×高÷2’的公式算三角形面积吗？”来自各行各业200多位家长的有效问卷中，只有一人填了“√”，占比不到0.5%。
不妨找一个形成强烈比拟的数据：医学研究显示，中国成年人群中糖尿病前期患病率为50.1%。
面对“＜0.5%”与“＞50%”这两个统计数据，如果说“由于生活中要用，以是我们要教”，那么与其教三角形面积公式，不如教有关糖尿病的知识。
然而，三角形面积打算能不教吗？即便是在平面几何中，节制了三角形面积打算方法，就即是办理了统统多边形面积的打算问题。由于任何一个n 边形，都可以从一个顶点出发，将它划分为(n－2)个三角形。
历史地看，先人创办学校的初衷，便是为了从生活天下等分离出传授教化天下。由于生活中的自然学习、口耳相传，无法适应社会发展的须要。而传授教化天下本身便是师生之间教与学的生活。因此，“传授教化回归生活”在理论上不能说是伪命题，但是歧义颇多，“随意马虎让人误判、误读, 乃至误用。”学界持续数年的辩论，在笔者看来，实乃源于歧义。
该当肯定，“传授教化回归生活天下”的本意是好的，它表达了人们对本真传授教化的期盼。但若不考虑不同学科、不同学段实际状况的差异，就难免导致异化。
事实上，我国的小学数学从一开始就非常重视生活化的算术。而且，全体20世纪中十多部课程标准、传授教化大纲，在课程的总目标、总任务（哀求）中，险些都强调了日常生活。只管在实行过程中有过偏离，但总体上联系生活的自觉性小学远胜于中学。忽略不同学段的实际状况，不作差异对待，再加上小学西席自身的一些特点，自然涌现大面积的误区，数学传授教化生活化走向了形式化、极度化。
人们常常引用杜威的名言“教诲即生活”，却忽略了杜威的提醒：“现实生活是如此繁芜,甚至儿童不可能同它打仗而不陷入迷乱。”因此，“学校作为一种制度应该简化现实的社会生活”，特殊是“要把它们转变成发展的手段和使能力进一步发展的工具”。而任何手段、工具都有一定的局限性，生活情境、生活履历也不例外。如何战胜生活情境外在形式的滋扰，引领学生超越生活履历，进入数学天下，正是成熟西席的标志之一。
在打消负面影响的根本上，不雅观察、慎思小学数学生活化的积极意义即传授教化功能，即刻就能显现的是引发兴趣、调动学习积极性的功能，尤其是那些“喜羊羊”“灰太狼”之类拟人化的童话情境。其后还能感想熏染到，生活化的处理能够拉近学习内容与儿童履历的间隔，激活学生的思维。而引发兴趣、激活思维的目的在于促进数学的理解、数学的抽象、数学的问题办理，到如今还增长了三个功能，促进数学活动履历的天生、数学思想的感悟、数学运用意识的培养。这么多的功能，概括起来，无非是促进眼下的数学理解与长远的素养发展。说来说去，生活化始终是手段、是工具，而非目的。
说实话，我们很少真的支配学生回家之后将所学数学知识运用于办理日常生活中的某一实际问题。这既是生活化流于形式的一种表现，有待打破；同时也是学校数学没有跟上日常生活变迁的反响，生活中的数学问题也要与时俱进，不断更新、开拓。
显然，要想发挥深层次功能，达成其目的，绝不是学校数学向生活数学的大略回归，而是更高层次上的整合，才能实现质的提升。至于提升的各种策略，笔者在“实践解读之九”（刊于本刊2015年第4期）一文中已有多方面的先容与提炼，这里再补充一点：回归生活既要立足当下，又要面向未来，让学生为首创今后的新生活，面对现在还不知晓的新事情做准备。
2. 持续做加法，难免天生累积效应
关于核心词，仅从数量来看，这一百多年一起走来，从两个到三个、四个，再到六个、十个，整体走势是在不断地做“加法”。
与此同时，课程的总目标，由“双基”扩展为“四基”，从“两能”（剖析和解决问题的能力）发展为“四能”（增加“创造和提出问题的能力”）。过去的“软任务”演化为现在的“硬指标”。由此，在肯定数学教诲正在走向本色性的进步与发展的同时，又不能不承认，传授教化哀求不断在提高。
从数学学科内部看，每一个核心词的引进，每一项目标的扩展，都有充分的情由、论据解释其必要性，且能自作掩饰。
但是，跳出学科以全局的视角辩证地看，学科领域内的完美、精细，并不即是课程整体的合理、优化。
履行本色教诲，“减负”是必须破解的一个难题。《国务院关于根本教诲改革与发展的决定》在提出“加快构建符合本色教诲哀求的新的根本教诲课程体系”的同时，还明确哀求“连续减轻中小学生过重的课业包袱”。改革的初衷是清晰的，构建新课程体系与减负左右开弓。
现实是，在小学中高年级普遍增设了外语、信息技能和综合实践活动等课程门类的背景下，各门学科都在追求各自发展区间的最大化，其叠加、累积的效应，无疑构成了一种系统性偏差。
对付西席来说，我国普遍履行的分科传授教化，使一位西席承担一门学科的压力。但对付学生来说，多门学科哀求的提高，终极都将转嫁、集中到个体身上，结果不言而喻。
以史为鉴，核阅当下，洞察未来。我们做了一个多世纪的加法，也该转入做减法的阶段了。
展 望
1. 核心词能否精简
华罗庚教授曾把读书的过程归纳为“由薄到厚”与“由厚到薄”两个阶段。这恐怕是科学研究、实践研究都要经历的过程。在此过程中，认识也会伴随研究与实践的深入由博返约。
在十个核心词中，运算能力、空间不雅观念、数据剖析不雅观念，分别是数与代数、图形与几何、统计与概率三个紧张内容领域的核心词；推理能力、模型思想是三个内容领域共同的核心词。如果只保留这五个，别的五个怎么办？
运算能力虽不能完备涵盖数感，但毕竟是小学生数感的主要天生渠道和紧张表现路子之一；几何直不雅观在小学紧张表示在数形结合上，并以空间不雅观念为根本；模型思想内含运用意识，建模须要符号意识并且也能培养符号意识。因此，若回归有主有次、突出重点的思想方法，则数感、几何直不雅观、运用意识与符号意识这四个，可以由干系的核心词兼顾。
至于创新意识，早在1999年国务院《关于深化教诲改革全面推进本色教诲的决定》中就明确提出：“履行本色教诲……以培养学生创新精神和实践能力为重点。”显然，两个重点，我们只取了其一，而且培养创新精神是中小学所有学科的共同目标，不是数学学科所特有。因此，不特殊列出也要予以足够重视。
如此剖析，十个核心词可以精简一半。它们之间的构造、联系，不妨借用三棱锥来刻画（如下图）：底部三角形的三个顶点，分别对应三大内容领域的核心词，推理能力处在三角形的重心，模型思想则在锥顶。实线、虚线（反响透视关系）都表示它们之间的联系。
2. 核心词有了嬗变为核心素养的契机
为了深化本色教诲，教诲部在《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的见地》文件中，提出了创建“核心素养体系”的任务。核心素养被誉为当代根本教诲的DNA。创建核心素养体系，是社会发展对教诲的诉求，同时也顺应了国际教诲改革的共同趋向。它对付提升我国人才培养质量，增强国家核心竞争力具有主要意义。因此，中小学各学科都应聚焦本学科的核心素养。
捉住这一契机，跳出“核心词”的羁绊，构建小学数学学科的核心素养，有利于整体提升学科的育人水平。
将核心词直接改称核心素养难免不免过于大略。核心素养具有整体性、综合性和系统连贯性，须要凸显跨学科的共同素养。进而，笔者以为：数学的核心素养，必须表示数学学科的实质，必须具有一样平常意义，必须承载独特的学科育人代价。
首先，表示数学学科实质的无疑是数学的基本思想“抽象、推理和模型”1。这三种基本思想涵盖了数学的产生、发展，以及数学与外部天下的联系，又恰好对应了数学的三大特色，高度的抽象性、逻辑的严谨性和广泛的运用性，因而在数学发展进程中起着关键的核心浸染。
其次，抽象、推理和模型思想分别对应三种具有一样平常意义的能力，即抽象能力、推理能力和运用能力。无论是文科还是理科，凡是知识都有不同程度的抽象性，都有从个别到一样平常或从一样平常到个别以及从个别到个别的推理，也都有自己的模型，如措辞模型、物理模型、化学模型等。由此可以说，抽象、推理和模型有着跨学科共同素养的特色。
再次，数学的抽象、推理和模型思想又具有其他学科不可替代的育人代价。
数学抽象所独占的育人代价在于，学生经历数学的抽象，不仅由此生成数学的研究内容，还能让学生学习如何从量或形的视角，去不雅观察、把握周围的现实事物。这一认识客不雅观天下的独特办法，是每个社会公民不论从事何种职业都不可或缺的基本素养。
数学推理有别于其他学科的育人代价是，理、化、生及科学学科都用事实说话，靠实验判断对错。唯有数学，凭推理辨别真伪。如果一个人只相信眼见为实，不知道思维的能动性可以通过推理帮助人类打破感官、履历、知识的局限性，那便是个人素养的一大缺失落。
数学建模的独特育人代价在于，它是最为简化、量化的模型，是沟全盘算机与社会生活险些所有领域各个层面的桥梁。
基于以上简要论述，抽象、推理和模型思想构成了数学学科第一层次的核心素养。如前所述，模型思想还内涵了运用意识。而符号意识则可以并入抽象，由于符号是数学抽象最紧张的措辞表征。
同时，这三个最具学科特色的核心素养，又能天生三个基本的素养，即思维、互换与问题办理。当然是数学思维、数学互换与数学的问题办理。它们之间的大致关系，可大略图示如下：
如此对应的情由：数学思维的实质特点是抽象与推理；数学互换更加强调逻辑性且常用模型表达数学与现实的联系；数学的问题办理首先是抽象，如将实际问题抽象成数学问题，关键是建模。
针对三个内容领域的运算能力、空间不雅观念和数据剖析不雅观念，则构成数学学科第二层次的核心素养。它们的学科实质、一样平常意义与育人代价，“实践解读”系列已经分别展开谈论，不再赘述。
为求直不雅观，利用三棱台来描述两个层次的层级关系（如上图）。第一层次的三个核心素养整体浸染于第二层次的核心素养，因此无需一持续线表示它们之间的联系。
只管“抽象”目前还不在核心词之列,但是它在数学学科与小学数学传授教化中的核心代价、核心地位是无人置疑的。各地西席长期的实践也已表明，它和其他几个核心素养，都是可教、可学的。
期望以上个人鄙见成为引玉之砖。相信核心素养研究的推进与核心素养体系的建构，将有助于战胜学科本位与传授教化中的短期行为，有助于不同学科、学段育人目标的彼此衔接，高下贯通，进而使小学数学传授教化真正为学生的终生发展奠基。
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来源于小学数学西席
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