在大多数人印象中，数学是抽象而晦涩的，彷佛和公共卫生完备搭不上关系。事实上，大家在面对传染病时碰着的问题，比如为什么打仗过患病者的人须要被隔离、疫情爆发1个月后有多少人被传染、拐点什么时候能够到来，都或多或少可以从数学模型的角度来做出预测和解读。也正是依赖数学家对付传染病抽象化的研究，人们对付传染病的传播模式和严重危害有了更为深刻的认识。
对传染病建模的历史
用数学模型研究传染病的做法，最早可以追溯到18世纪初。那时候天花病毒正在肆虐欧洲，人们创造东方传入的人痘接种术彷佛能够治愈这种疾病，但接种后仍有很高的去世亡率，这引起了大数学家丹尼尔·伯努利（Johann Bernoulli）的把稳。伯努利是流体力学的祖师爷，同时也学过一点医学，听说了天花接种的疗法后，他便开始琢磨怎么用数学去描述天花的传播以及接种的功效。
数学家丹尼尔·伯努利 | Wikimedia Commons
受限于时期，伯努利的想法比较朴素，他将人群分成传染者与未传染者，传染者既有可能治愈变成未传染者，也会因病去世亡。伯努利的高明之处在于，他考虑了人的年事也便是韶光成分，假定疾病治愈率与研究人群的年事段干系，以此建立了数学方程。
伯努利的模型类似于后来的SI模型是最为大略的传染病模型之一 | 参考资料[3]
经由一番打算研究，伯努利得出结论：只管有一定风险，人痘接种在统计上仍旧能让人的寿命延长3年旁边。
虽然以现在的眼力看，伯努利的研究一点也不严谨，得出的结论也是显而易见的（接种疫苗有助于掌握疾病传播），人痘接种术在牛痘疫苗涌现后也险些偃旗息鼓，但伯努利是第一个考试测验用数据和方程去剖析传染病传播趋势、判断掌握方法有效性的数学家，这种科学思维在那个人类完备被传染病支配的时期显得尤为宝贵，直到本日仍旧是用数学方法研究传染病的最基本思想。
牛痘疫苗为人类消灭天花做出了主要贡献 | The Conversation
100多年后的20世纪初，用数学模型研究传染病的方法（后来发展为一门叫“数理盛行病学”的学科）迎来了飞速发展，这很大程度上要归功于苏格兰军医麦肯德里克（Anderson Gray McKendrick）和生归天学家威廉·克马克（William Kermack）。
提出SIR模型的麦肯德里克和克马克 | 参考资料[4]
麦肯德里克曾在印度服役，当时印度鼠疫横行，夺去了数十万人的生命。然而与大多数年夜夫研讨医术不同，麦肯德里克竟然“不务正业”，把很多心思放在了研究数学方程上，并创造鼠疫的传染人数趋势和数学的某些函数曲线非常相像。
从印度返国后，他与生归天学家威廉·克马克（William Kermack）互助，开始对鼠疫爆发的患病人数、患者生存天数等数据进行剖析，终极提出了数理盛行病学中里程碑式的模型：SIR模型。直到本日，绝大多数从数学角度剖析传染病的研究都或多或少有这个模型的影子。
西班牙流感等传染病在20世纪初肆虐环球 造成数以亿计的伤亡 | Wikimedia Commons
如何用SIR模型描述传染病？
SIR模型的基本观点并不难，纵然完备没学过数学也能看懂：
S代表Susceptible，易感者，也便是可能被传染但还没有传染的人；
I代表Infected，传染者，即已经被传染但尚未去世亡的人；
R代表Removed，移除者，他们有可能被传染后病愈了，也有可能是因病去世亡。
当然还有一个样本人数不变的假设，也便是易感者+传染者+移除者的人数之和假定不变。
SIR模型示意图 | Perception Heallth
有了这样一个数学模型，我们须要研究三个群体随韶光的变革趋势——比如说，第1天有了3个传染者，到了第10天会有多少人传染？因病愈或去世亡产生的移除者又会有多少个？
为了求出不同人群与韶光的关系式，数学家引入了一组微分方程。它看起来很繁芜，但这个唬人的玩意儿实质上和解“2+x=4”是一个道理，数学家的任务便是解出这个繁芜方程里的S、I、R与韶光t的关系函数。
SIR模型的数学方程 | 参考资料[5]
微分方程解出来的结果不一定能用数学式子来表示，一样平常来说我们更习惯用下面这样的图像表示SIR模型的传染趋势：横轴代表韶光，纵轴代表群体的人数。你可以很直不雅观的看到，I代表的传染者数量随韶光迅速增长，S代表的易感者相应变少，末了的结果是大部分被“移除”了（可能是治愈或者是病去世），不再存在传染者。
SIR模型给出的传播趋势 | 参考资料[5]
SIR模型非常简洁，打算得出的传染趋势也在印度鼠疫的实例中得到了一定程度的印证。然而SIR模型毕竟只是一个根本模型，它的毛病也是非常明显的——许多传染病存在潜伏期，传染后可能在一段韶光内，人体都没有非常症状，而把人群划分为三种类型，没有考虑群体内部的差异，比如传染者的潜伏期会因人而异；其余，部分传染者（包括疑似传染者）确诊后会被隔离，传染他人的概率比原来降落了很多。
考虑到这些成分，SIR模型衍生出了SEIR、C-SEIR等多个变种模型，从而能更为精确地描述传染病的传播趋势。一样平常来说，各种传染病都有对应的模型进行描述，比如说HIV病毒，一旦传染便终生带有传染性，类似于当初伯努利提出的SI模型；而像SARS和最近的新型冠状病毒，用SEIR模型来描述它们的传播会更准确一些。
SEIR模型图示 E代表 Exposed 潜伏者 | 参考资料[6]
数学建模的浸染
说到底，我们为什么要费尽心机找到准确的数学模型来描述传染病呢？最主要的一个缘故原由是，我们希望以此定量评估可能的传染人数和传染速率，并且剖析出更为有效的防疫治疫方法。
在家隔离，是大家比来最熟习的防疫方法，若何用数学模型证明隔离能有效掌握疫情传播呢？不妨假设有一个1000人的群体，个中有一个人不幸传染病毒后开始传播。在COSMOL等仿真软件里输入SIR模型的数学方程，可以得到下图的结果：未传染病毒的人数（蓝色曲线）不断低落，疫情在第五天达到顶峰，传染者数量（绿色曲线）达到总人数将近一半。
无隔离方法下，SIR模型对病毒传播的仿照结果 | 参考资料[7]
然而，如果对80%的传染者采纳隔离方法，也便是视为不再传染其他人的移除者（赤色曲线），得到的疫情趋势图会发生很明显的变革——疫情在第六天达到顶峰，传染者的数量只会有不到200人，涌现了大幅低落，这也就从数学角度证明了乖乖宅在家里对付掌握传染病的主要性。[7]
对80%传染者采纳隔离方法后，SIR模型得到仿照结果 | 参考资料[7]
数学模型也能对不同的疾病掌握方法的效果进行评估。2013年埃博拉疫情在非洲爆发，英国开始对来自高风险国家的入境职员进行筛查。然而有团队在建立数学模型后创造，只有7%的埃博拉传染者可能在国家边疆被创造，加上病毒潜伏期也比较长，病毒携带者初期可能并没有表现出任何症状，最有效的方法还是在病毒发源地对传染者（以及疑似传染者）进行隔离来遏制病毒传播。正是通过这样的办法，数学模型在遏制传染病传播起到了越来越主要的浸染。
参考文献
[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_modelling_of_infectious_disease
[2]https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Bernoulli,_Daniel
[3]https://institutefordiseasemodeling.github.io/Documentation/general/model-si.html
[4]http://devingaffney.com/when-physicists-talk-about-cat-gifs/
[5]Luz P M , Struchiner C J , Galvani A P , et al. Modeling Transmission Dynamics and Control of Vector-Borne Neglected Tropical Diseases[J]. PLoS Neglected Tropical Diseases, 2010, 4(10):e761.
[6]Audrey M. Dorélien, Ballesteros S , Grenfell B T . Impact of Birth Seasonality on Dynamics of Acute Immunizing Infections in Sub-Saharan Africa[J]. PLOS ONE, 2013, 8.
[7]https://cn.comsol.com/blogs/analyze-the-spread-of-epidemic-diseases-with-simulation/
[8]http://news.sciencenet.cn/dz/dznews_photo.aspx?t=&id=34011
作者：矩阵星
编辑：李小葵
题图来源：参考资料[4]
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