（图源：math.nyu.edu）
阿基米德爱玩棍子（杠杆）爱沐浴，这连小学生都知道。棍术出神入化的阿爷爷不负众望，玩棍子玩出了阿基米德方法，它还有个名字叫做力学理论方法（Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος/The Method of Mechanical Theorems）。
阿基米德方法这个名称多少有点笼统，可它最早就只叫做“方法”，更加不知所云。阿基米德在给亚历山大图书馆首席管理员埃拉托色尼（Eratosthenes）的信里描述了这种方法，后者听说是当时唯一能够理解他的数学家。
阿基米德方法是什么，它有何独特、精妙和离经叛道之处呢？这个方法与力学有关，阿基米德在他的头脑中通过称量法找到了抛物线弓形的面积。他把波折的弓形区域想象成一个物质工具（我把它想象成一块被精心裁剪成抛物线弓形的薄金属片），然后把它放在一架假想天平的一端。如果你喜好，也可以想象它被放在一架假想跷跷板的一端。接下来，他要弄清楚如何用三角形（一种他已经知道如何称量的形状）让这架天平达到平衡状态，从而推导出原来的抛物线弓形的面积。
——《微积分的力量》
然而阿基米德方法差点失落传。
公元前3世纪，阿基米德把他的一系列研究成果整理成书留给后人。公元10世纪，某位缮写员将阿基米德的希腊文手稿抄录在羊皮纸上。1204年十字军洗劫君士坦丁堡，这份羊皮手稿被保存在一个偏远的希腊修道院。虽然它逃过了被十字军焚毁的命运，但在修道院里也没有受到足够重视，更由于羊皮纸并不充裕，于是僧侣洗掉了上面的笔墨（幸亏洗得不足干净，见下图）写上了祈祷文。随后它不知所踪。
直到1906年，丹麦学者约翰·卢兹维·海贝尔（Johan Ludwig Heiberg）在伊斯坦布尔参不雅观教堂图书馆时，创造了一本非常奇怪的羊皮书，它的祈祷文下面隐约透出数学符号及笔墨，《阿基米德羊皮书》就这样被重新找到了。
（图源：en.wikipedia.org）
1999年~2008年，在美国巴尔的摩沃特斯艺术博物馆（Walters Art Museum），阿比盖尔·库恩特（Abigail Quandt）博士与干系人士利用多光谱成像技能对羊皮书展开了信息提取事情，便是利用不同波长电磁波照射，然后用特制的数码摄像机进行拍摄。
再然后当代人就知道了阿基米德多么习气玩棍子，以及玩得多么好——他竟然为理解决纯粹的数学问题而凭空想象出一个杠杆系统。
阿基米德的“方法”实际上是一种原始积分法，表示了近代积分学的基本思想，它包括15个命题。基本思路是为了求出面积或体积，先把图形视作物体，将其分割成多少平行窄条或平行薄片，挂在杠杆的一端，另一端则挂着重心和面积或体积已知的图形，与之形成平衡，然后通过杠杆事理探求出未知图形的面积或体积。
先看看羊皮书里第一个命题，借助杠杆平衡事理打算抛物线弓形面积。在弓形内部作三角形ABC，在其外部再作大三角形ACD，CD与抛物线相切，AD⊥AC。阿基米德已经利用欧几里得几何，证明了三角形ACD面积为三角形ABC的4倍。
（图源：《微积分的力量》）
接下去阿基米德出人意料地加入了一根杠杆，即延长CB与AD相交于F，再延长至S，使SF=FC，F便是杠杆的支点。然后将外接三角形ACD和抛物线弓形都看作由无穷多条垂直线组成的形状，稽核任一位置上弓形内的短肋条与延长至外接三角形的长肋条。阿基米德先证明了如果把短肋条移至S点，而长肋条的位置保持不变，杠杆达到平衡状态。这意味着如果把组成弓形的所有短肋条都移至S点，外接三角形ACD就与之达到平衡。
（图源：《微积分的力量》）
三角形ACD的重心位于FC上，距支点F的间隔即是FC的1/3，而SF=FC。这样根据杠杆事理得出结论，抛物线弓形面积是外接三角形ACD的1/3，于是即是内接三角形ABC的4/3。
阿基米德连续把这种静力学剖析法用于打算球体积。他引进了一个高与球直径相同、底面直径两倍于球直径的圆柱体，又加入一个大圆锥。
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接着他再次加入了杠杆，即下图中的HC，长度即是球直径，A为支点。从上一命题的二维发展到三维，肋条也变成了薄片。MS是位于任意位置的圆柱薄片，个中OS是球体内的小薄片，QS是圆锥内小薄片。与上一个证明完备一样，阿基米德先证明若将OS及QS移至H点，则可通过杠杆HS与MS形成平衡，即AS×πMS2=HA×(πOS2+πQS2)， 而HA=MS，故可简化为AS×MS=OS2+QS2。又由于QS=AS，故OS2+QS2=OS2+AS2=OA2， 这样就可以转化为AS×MS=OA2。
由于圆柱的重心离A的间隔是球半径， 而HA的长度是球直径，可以得知：(球体积+大圆椎体积)×球直径=圆柱体积×球半径。
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又知道圆锥体积是圆柱体积的1/3，于是球体积=1/6圆柱体积。若以球的大圆面为底， 以其直径为高做一个外包圆柱，则球体积=2/3外包圆柱体积。
阿基米德也很欣赏自己在数学天下的耍棍成果，听说他还哀求别人将内接于圆柱的球的图案刻在自己墓碑上，并且过了许久，后人正是藉此辨认出了他的墓。
聪明人不止阿基米德一个，借助物理学方法研究数学问题，至少牛顿也会。看上去两人一样，都是由于自己在物理学领域得到过传世成果，以是把它们移植到数学领域时显得得心应手。
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牛顿在数学上的造诣，无疑便是微积分。他和莱布尼茨各自发现并证明了基本定理，将面积与斜率联系起来，又把积分与导数联系在一起。
当牛顿动态地看待面积问题时，他创造了基本定理。他的想法是在这幅图景中引入韶光和运动，用他的话说便是让面积流动起来，并不断扩大。
表示他这种想法的最大略例子是一辆以恒定速率行驶的汽车，个中间隔即是速率乘以韶光。只管这个例子可能很大略，但它仍旧捉住了基本定理的实质，算是一个不错的出发点。
——《微积分的力量》
牛顿把自己善于的运动研究引入了面积打算，在以下的速率-韶光图像中，面积即间隔。左图表示60英里/小时匀速运动，1/2小时的运动间隔，即为速率函数直线下以1/2小时坐标为边界的区域面积。右图是恒定加速运动的速率函数，指定时间的运动间隔即以韶光坐标为边界的函数斜线以下的区域面积。
（图源：《微积分的力量》）
面积与间隔的这种对应显然同样适用于速率、加速度均不恒定的情形，例如像下图这样的速率函数曲线，又回到了阿基米德曾面临的问题。并且有点类似，若要确定y值须要每次取一个垂直切片，然后可以把曲线转换成方程，早些时候费马和笛卡尔已经学会探求曲线的切线。
（图源：《微积分的力量》）
但切线的斜率才是关键，而斜率引出了导数观点。导数还在物理学中作为包括速率在内的变革率涌现，以是导数连接了斜率与速率，也便是将几何与运动联系在了一起。
反过来，数学研究也让牛顿对宇宙运动加深了理解。
（图源：undsci.berkeley.edu）
导数表明了斜率与速率之间的联系，更广泛地讲，是几何学和运动之间的联系。一旦导数的观点深深地扎根在牛顿的头脑中，它桥接几何学和运动的能力就会使末了的打破成为可能。而且，终极办理面积问题的正是导数。
——《微积分的力量》
后续微积分学的推导抽象呆板，不赘述。
以物理学眼力看待几何学，这方面阿基米德和牛顿不相上下，他们都大胆拿出了自己最顺手的武器。用阿基米德的话说，物理便于我们创造结论，而几何则能帮助我们对结论作出证明。
书本简介：
微积分的力量
Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe
（图源：《微积分的力量》）
作者：［美］史蒂夫·斯托加茨（Steven Strogatz） 任烨 译
出版社：中信出版集团株式会社
开本：787mm×1092mm 1/16
页数: 380
字数：260千字
出版：2021年1月第1版
ISBN：978-7-5217-2329-8
References:
[美] 史蒂夫·斯托加茨. 微积分的力量[M]. 任烨, 译. 北京: 中信出版社, 2021.1江晓原. 《阿基米德羊皮书》背后的科学史奇案[J]. 中华读书报，2009.10.14Gabriela R. Sanchis. Archimedes' Method for Computing Areas and Volumes[EB/OL]. [2021-06-28]. https://www.maa.org/book/export/html/116324朱哲. 阿基米德如何求球體積[EB/OL]. [2013-06-01]. https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=37207卢昌海. 阿基米德的方法[EB/OL]. [2019-10-01]. https://www.changhai.org/articles/science/worldline/Archimedes3.php《阿基米德羊皮书》开放资源：https://openn.library.upenn.edu/Data/0014/ArchimedesPalimpsest/Data/https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes; ~The_Method_of_Mechanical_Theorems; Archimedes_Palimpsest
