双树复小波变换DTCWT基本理论
双树复小波变换DTCWT采取二叉树构造的两路滤波器组进行旗子暗记的分解和重构，第一棵树天生实部，第二棵天生虚部，合理设计实、虚部树低通滤波器，知足半采样延迟条件，具有近似平移不变性。两树的滤波器采样频率相同，但是它们之间的延迟恰好是一个采样间隔，这样虚部树中第１层的二抽取恰好采到实部树中二抽取所丧失落的采样值，在得到了复小波变换的平移不变性的同时避免了大量的打算并且具有随意马虎实现的上风。下图为３层双树复小波的分解和重构过程。
３层双树复小波的分解和重构过程
虚线上方实部树变换的小波系数和尺度系数可由式（2）和（3）打算
干系的参考文献如下：
[1]Huang Tongyuan,Xu Jia,Yang Yuling,Han Baoru. Robust Zero-Watermarking Algorithm for Medical Images Using Double-Tree Complex Wavelet Transform and Hessenberg Decomposition[J]. Mathematics,2022,10(7).
[2]Zhou Yilu,Fu Xiaojin. Image Denoising Based on Dual-tree Complex Wavelet Transform and Convolutional Neural Network[J]. Journal of Physics: Conference Series,2021,1995(1).
[3]Lei Wang,Zhiwen Liu,Hongrui Cao,Xin Zhang. Subband averaging kurtogram with dual-tree complex wavelet packet transform for rotating machinery fault diagnosis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing,2020,142(C).DTCWT的近似移位不变性
DWT受到移位变革的影响，这意味着输入旗子暗记或图像的眇小偏移将导致DWT系数中跨尺度的旗子暗记或图像能量分布发生显著变革。 DTCWT是近似移位不变的。为了在测试旗子暗记中证明这一点，构建两个移位的离散韶光脉冲，长度为128 个样本。一个旗子暗记在样本60处具有单位脉冲，而另一个旗子暗记在样本64处具有单位脉冲，两个旗子暗记显然都具有单位能量（l2)范数。
kronDelta1 = zeros(128,1);kronDelta1(60) = 1;kronDelta2 = zeros(128,1);kronDelta2(64) = 1;
将DWT的扩展模式设置为周期性。利用长度为14的小波和尺度滤波器得到两个旗子暗记的DWT 和DTCWT，直到第3 级，提取第3级的细节系数进行比较。
origmode = dwtmode('status','nodisplay');dwtmode('per','nodisp')J = 3;[dwt1C,dwt1L] = wavedec(kronDelta1,J,'sym7');[dwt2C,dwt2L] = wavedec(kronDelta2,J,'sym7');dwt1Cfs = detcoef(dwt1C,dwt1L,3);dwt2Cfs = detcoef(dwt2C,dwt2L,3);[dt1A,dt1D] = DTCWT(kronDelta1,'Level',J,'FilterLength',14);[dt2A,dt2D] = DTCWT(kronDelta2,'Level',J,'FilterLength',14);dt1Cfs = dt1D{3};dt2Cfs = dt2D{3};
绘制第3级两个旗子暗记的DWT 和DTCWT系数的绝对值，并打算系数的能量（平方l2范数），以相同的比例绘制系数。旗子暗记中的 4 个样本移位导致第3级 DWT 系数的能量发生了显著变革，第 3 级DTCWT 系数中的能量仅变革了大约 3%。
figuresubplot(1,2,1)stem(abs(dwt1Cfs),'markerfacecolor',[0 0 1])title({'DWT';['Squared 2-norm = ' num2str(norm(dwt1Cfs,2)^2,3)]},... 'fontsize',10)ylim([0 0.4])subplot(1,2,2)stem(abs(dwt2Cfs),'markerfacecolor',[0 0 1])title({'DWT';['Squared 2-norm = ' num2str(norm(dwt2Cfs,2)^2,3)]},... 'fontsize',10)ylim([0 0.4])
figuresubplot(1,2,1)stem(abs(dt1Cfs),'markerfacecolor',[0 0 1])title({'Dual-tree CWT';['Squared 2-norm = ' num2str(norm(dt1Cfs,2)^2,3)]},... 'fontsize',10)ylim([0 0.4])subplot(1,2,2)stem(abs(dwt2Cfs),'markerfacecolor',[0 0 1])title({'Dual-tree CWT';['Squared 2-norm = ' num2str(norm(dt2Cfs,2)^2,3)]},... 'fontsize',10)ylim([0 0.4])
为了证明近似移位不变性在实际数据中的浸染，我们剖析心电图 (ECG) 旗子暗记。 ECG 旗子暗记的采样间隔为 1/180 秒，数据取自 Percival & Walden[4]，第 125 页（数据最初由华盛顿大学的 William Constantine 和 Per Reinhall 供应）。为方便起见，我们将数据从 t=0 开始。
[4]Percival, Donald B., and Andrew T. Walden. Wavelet Methods for Time Series Analysis. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge ; New York: Cambridge University Press, 2000.
load wecgdt = 1/180;t = 0:dt:(length(wecg)dt)-dt;figureplot(t,wecg)xlabel('Seconds')ylabel('Millivolts')
相隔约0.7 秒的较大的正值峰是心律R波。首先，利用带有 Farras近似对称滤波器的临界采样DWT分解旗子暗记。绘制原始旗子暗记以及第2级和第3级小波系数。之以是选择第2级和第3级系数，是由于对付给定的采样频率，R波在这些尺度中被分离的较为显著。
figureJ = 6; [df,rf] = dtfilters('farras');[dtDWT1,L1] = wavedec(wecg,J,df(:,1),df(:,2));details = zeros(2048,3);details(2:4:end,2) = detcoef(dtDWT1,L1,2);details(4:8:end,3) = detcoef(dtDWT1,L1,3);subplot(3,1,1)stem(t,details(:,2),'Marker','none','ShowBaseline','off')title('Level 2')ylabel('mV')subplot(3,1,2)stem(t,details(:,3),'Marker','none','ShowBaseline','off')title('Level 3')ylabel('mV')subplot(3,1,3)plot(t,wecg)title('Original Signal')xlabel('Seconds')ylabel('mV')
进行DTCWT剖析，只取第2级和第3级双树系数的实部，如下图所示
临界采样DWT和双树小波变换DTCWT都将 ECG 波形的一个主要特色定位到相似的尺度。小波在一维旗子暗记中的一个主要运用是得到按尺度的方差剖析。按理说，这种方差剖析不应该对输入旗子暗记的循环移位敏感。不幸的是，严格采样的DWT并非如此。为了证明这一点，我们将 ECG 旗子暗记循环移位4个样本，采取严格采样的DWT剖析未移动和移动的旗子暗记，并打算跨尺度的能量分布。
wecgShift = circshift(wecg,4);[dtDWT2,L2] = wavedec(wecgShift,J,df(:,1),df(:,2));detCfs1 = detcoef(dtDWT1,L1,1:J,'cells');apxCfs1 = appcoef(dtDWT1,L1,rf(:,1),rf(:,2),J);cfs1 = horzcat(detCfs1,{apxCfs1});detCfs2 = detcoef(dtDWT2,L2,1:J,'cells');apxCfs2 = appcoef(dtDWT2,L2,rf(:,1),rf(:,2),J);cfs2 = horzcat(detCfs2,{apxCfs2});sigenrgy = norm(wecg,2)^2;enr1 = cell2mat(cellfun(@(x)(norm(x,2)^2/sigenrgy)100,cfs1,'uni',0));enr2 = cell2mat(cellfun(@(x)(norm(x,2)^2/sigenrgy)100,cfs2,'uni',0));levels = {'D1';'D2';'D3';'D4';'D5';'D6';'A6'};enr1 = enr1(:);enr2 = enr2(:);table(levels,enr1,enr2,'VariableNames',{'Level','enr1','enr2'})
把稳到第3级和第4级的小波系数显示原始旗子暗记和移位旗子暗记之间的能量变革约为 3%。接下来，我们利用DTCWT进行剖析，结果如下所示。
由结果可得，DTCWT变换为原始旗子暗记及其循环移位版本天生按比例的同等性方差。
图像处理中的方向选择性
我们绘制一下具有 4阶消逝矩 sym4 的 Daubechies 最小不对称相位小波的 LH、HL 和 HH滤波器
由图可以看出LH和HL小波滤波器分别具有清晰的水平和竖直方向，最右边的HH小波滤波器稠浊了+45 度和-45 度方向，产生了伪影。这种方向的稠浊是由于利用了实值可分离滤波器。HH实值可分离滤波器在2维频率平面的所有四个高频角都有通带。DTCWT通过利用近似解析的小波实现方向选择性，在DTCWT中，实部和虚部有6个子带。6个子带的实部是通过将列滤波后的输出相加，然后对两棵树中的输入图像进行行滤波而形成的。6个子带的虚部是通过减去列滤波和行滤波的输出而形成的。运用于列和行的滤波器可能来自相同的滤波器 {h0，h1 } 或 {g0，g1}，或者来自不同的滤波器 {h0，g1},{g0，h1}。下面绘制对应于DTCWT实部和虚部的12个小波滤波器的方向，图的第1行是6个小波滤波器的实部，第2行是虚部。
二维边缘表示
DTCWT的近似解析性和方向选择性在图像边缘的表示方面供应了优于标准2维DWT的性能。为相识释这一点，我们利用临界采样的2-D DWT和 2-D DTCWT来剖析测试图像。首先，导入图像
将图像分解到第 4 级，并根据第 4 级细节系数重构图像。
接下来，剖析一个具有双曲边的八边形。
load woctagonHyperbolicfigureimagesc(woctagonHyperbolic)colormap graytitle('Octagon with Hyperbolic Edges')axis equalaxis off
同样将图像分解到第 4 级，并根据第 4 级细节系数重构图像
把稳到两幅图像的二维 DTCWT 中均不存在二维严格采样 DWT 中明显的伪影。 DTCWT 再现了直线和曲线奇点。
图像降噪
由于能够在独立的子带等分离不同的方向，DTCWT在图像降噪等运用中常日优于标准的可分离DWT。利用软阈值处理对严格采样的 DWT 和 DTCWT 进行降噪比较。对付每个阈值，均显示均方根 (RMS) 偏差和峰值信噪比 (PSNR)。
DTCWT 在 RMS 偏差和 PSNR 方面优于标准 DWT。接下来，大略地看下图像的降噪效果
DTCWT 供应的 PSNR 比标准 2-D DWT 赶过近 4 dB
3-D空间中的方向选择性
当将小波剖析扩展到更高维时，利用可分离DWT在二维空间中不雅观察到的伪影会加剧。DTCWT 能以最小的冗余保持3-D空间中的方向选择性。在3-D空间中，DTCWT中有 28 个小波子带。为了演示3-DDTCWT 的方向选择性，可视化3-D DTCWT 和可分离 DWT小波的3-D等值面图。首先，分别可视化两个双树子带的实部和虚部。
等值面图的赤色部分表示小波从零开始的正偏移，而蓝色表示负偏移。可以清楚地看到DTCWT的实部和虚部在空间中的方向选择性。现在可视化双树子带之一，将实部和虚部图一起绘制为一个等值面。
上图展示了实部和虚部在空间中相互转换，这反响了双树复小波的虚部是实部的近似希尔伯特变换。接下来，在 3-D 中可视化正交小波的等值面以进行比较
看下DTCWT和DWT的方向混叠征象
与 2-D情形类似，3-D DTCWT的方向选择特性常日降噪效果更好。为了证明这一点，考虑一个由 16 个切片组成的 MRI 数据集。原始数据集中加入了标准差为10的高斯噪声。
load MRI3Dmontage(reshape(noisyMRI,[128 128 1 16]),'DisplayRange',[])
打算一下SNR
20log10(norm(origMRI(:),2)/norm(origMRI(:)-noisyMRI(:),2))
利用 DTCWT 和 DWT 将 MRI 数据集降噪，共分解到4级，这两种情形下都利用相似的小波滤波器长度。将天生的 SNR 绘制为阈值的函数。
figuremontage(reshape(imrecDTCWT,[128 128 1 16]),'DisplayRange',[])title('DTCWT Denoised Volume')
figuremontage(reshape(imrecDWT,[128 128 1 16]),'DisplayRange',[])title('DWT Denoised Volume')
