提升思维层次
导读张益唐不但留下了一个“始不垂翅，终能奋翼”的传奇，而且他的宠辱不惊也耐人寻味。各界人士对他的激情亲切帮助，以及他成名后对社会的激情亲切反馈，都充满了人性的光辉。正如《论语》里的名言：“一箪食，一瓢饮，在陋巷，人不堪其忧，回也不改其乐。贤哉，回也！
”
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双十一刚过，许多人是不是正处在剁手后的吃土韶光？本日，我们就来先容一位吃土界的宗师级人物。他倒不是买了太多东西，而是在很永劫光内根本没钱买东西。但分歧凡响的是，他在各种困难困苦的条件下，都一贯在研究天下难题，末了终于石破天惊。他便是传奇数学家张益唐。
张益唐
张益唐做了什么呢？回答非常故意思。
数学家的成果每每很难向大众先容，由于仅仅听懂他们在研究什么问题都须要很多背景知识。而且张益唐是当代人，一样平常而言，越今后的就离普通人越远。然而，张益唐却是个大大的反例，他的研究成果是很随意马虎阐明的。随意马虎到什么程度呢？小学水平就够了！
首先，大家都知道什么是质数（prime number），对吧？质数便是只能被1和自己整除的自然数，也被称为素数。能被1和自己之外的数整除的自然数，叫做合数（composite number）。
最小的质数是2，下一个是3，然后是5，然后是7。显然，2以外的质数都只能是奇数。我们沿着奇数一起看下去。
下一个奇数9不是质数，由于它即是3 × 3。下面两个奇数11和13，又是质数。下一个奇数15不是质数，它即是3 × 5。再下面两个奇数17和19，又是质数。下一个奇数21不是质数，它即是3 × 7。下一个奇数23，又是质数。再下面两个奇数25和27不是质数，它们即是5 × 5和3 × 3 × 3。再下面两个奇数29和31，又是质数。如此等等。
100以内的质数和合数表
我们可以不雅观察到什么征象呢？
一开始，质数十分密集，但后面变得越来越稀疏。这是由于数越大，可能的分解办法就越多，它成为质数的几率就越低。
这就引出了一个基本问题：质数的数目是有限还是无限呢？也便是说，会不会到了某个数以上，就全都是合数，再也没有质数了？
对此我们有明确的答案：质数有无穷多个。这是欧几里得在《几何原来》中证明的。这个证明非常经典，而且一点都不难，你能想到吗？我们会单独录一个视频，来证明质数有无穷多个。
然后，另一个不雅观察是，有些质数之间只相差2，例如3和5、5和7、11和13、17和19、29和31。我们把这样的一对质数称为“孪生质数”（twin primes）。显然，随着质数变得越来越稀疏，孪生质数也会变得越来越稀疏。
例如23周围就没有孪生质数，由于21和25都不是质数。23是第一个单独涌现的质数，而在后面的质数中，单独涌现的几率会越来越高，孪生涌现的几率会越来越低。
以是，一个自然的问题便是：孪生质数对的数目是有限还是无限呢？也便是说，会不会到了某个数以上，就全都是合数或者单独涌现的质数，再也没有孪生质数了？
这个问题小学生都能理解，但答案我们还不知道。数论的一大特点，便是一个普通人提出的问题，无数聪明人奋斗几千年都不一定能解答。
目前，我们已知的最大的孪生质数对是：
3756801695685× 2666669 - 1和3756801695685 × 2666669+ 1。
这两个数用十进制表示，长度有20多万位！
一个合理的觉得是：随着数的增大，孪生质数涌现得越来越稀疏，但永久不会消逝，它们总会倔强地在某个地方再次涌现。绝大多数数学家都相信这个命题，但谁也不能证明或证伪它。
这个命题叫做“孪生质数猜想”（twin prime conjecture），是全体数学中最著名的未解之谜之一。1900年，德国数学大师希尔伯特（David Hilbert，1862 - 1943）提出了辅导二十世纪数学发展的23个问题，个中孪生质数猜想、哥德巴赫猜想（Goldbach’s conjecture）和黎曼猜想（Riemann hypothesis）被打包作为第八个问题，统称为关于质数分布的问题。
希尔伯特
从1900年到现在，119年过去了，这三个猜想仍旧没有办理。不过在孪生质数猜想方面，我们取得了重大的进展。这个进展就来自张益唐。
2013年，他证明了：存在无穷多对质数，它们的间隔小于7千万。
这意味着什么呢？
在此之前，我们不但无法证明有无穷多对只相差2的质数，而且把这里的2更换成任何一个有限数值，我们也无法证明。也便是说，我们不能打消这种可能：任给一个自然数N，间隔小于N的质数对都只有有限个。而现在，我们就可以打消这种可能了。
以是，张益唐把对质数间隔的估计，从无限一下子拉到了7千万！
如果拉到2，便是证明了孪生质数猜想。虽然我们还没有做到这一点，但很随意马虎理解，从无限到有限是质的差异，而从7千万到2只是量的差异。因此，张益唐的定理是人类在孪生质数猜想上第一个真正重大的打破。
张益唐的人生，跟他的成果一样富有戏剧性。他是我所知的大器晚成的最惊人的例子。
1955年，张益唐出生于上海。他的父亲是中国最早研究移动通信的专家之一，母亲在邮电部事情。张益唐从小就对数学显露出超常的兴趣和天赋，但由于时期的捉弄，不能上大学，只能在北京制锁厂当工人。
规复高考后，1978年，23岁的张益唐考上了北京大学数学系。虽然年事偏大，但是金子总会发光的。张益唐的数学才能，在同学中大放异彩。
我的前辈朋友、著名作家王小东，跟张益唐便是北大数学系的同班同学，而且是铁哥们。王小东见告我，他原来对自己的数学天赋很有自傲，见到张益唐之后就明白了，纯数学还是让张益唐这样的人去搞吧。他们系还有人后来成为了成功的企业家，他也感谢张益唐。感谢什么呢？感谢让他早早打消了作数学家的想法，找到了适宜自己的道路。
1982年，张益唐本科毕业后，跟随著名数学家潘承彪读硕士。1985年，在北京大学校长、著名数学仆人石孙的推举下，到美国普渡大学读博士，导师是来自台湾的莫宗坚。这一段经历看起来一帆风顺，但出人意料的迁移转变立时来到。
潘承洞和潘承彪（右）兄弟，展涛摄于1995年
丁石孙
1991年，张益唐博士毕业。他的博士事情研究了一个著名的猜想，叫做“雅可比猜想”（Jacobian conjecture）。但他的证明以导师莫宗坚的一个结果为根本，而在审稿时创造莫宗坚的那个结果有问题，以是他的证明也就不成立了。
莫宗坚
这倒也罢了，论文出错也是常有的事。真正令人吐血的是，莫宗坚以为张益唐让自己在学术界丢了脸，于是不给他写推举信。喂喂喂，这是什么逻辑？是你犯了缺点，为什么迁怒于学生？
没有导师的推举信，张益唐就无法在学术界找到事情。不要说正式职位，连博士后都找不到。毕业即失落业，真是太惨了。
在这段岁月里，张益唐送过外卖，卖过炸鸡，还在汉堡店当过司帐，作过收银员。有时他没地方住，只能在车里过夜。
但惊人的是，他在这种吃土的情形下都没有放弃数学。有空的时候，他就去附近的图书馆读代数几何和数论方面的期刊文章。
有一位北大化学系的校友开了几家赛百味的连锁店，很想帮助张益唐，但又怕被谢绝。于是他想了一个点子，每个季度请张益唐来帮忙给连锁店报税，让张益唐比较轻松地得到报酬，同时有比较多的韶光去研究数学。
当时IT家当正在发达发展，以是张益唐如果想赢利，该当很随意马虎。我的许多化学专业的同学朋友都转行去搞IT了，数学专业的就更不在话下。
1999年初，张益唐一位在英特尔事情的北大数学系师弟唐朴祁在纽约找到他，请他帮忙办理一个网络设计中技巧性很强的数学问题。张益唐花了一个星期就办理了，他俩一块申请了一项专利。但此后，张益唐就再也没有做过IT，还是潜心做数学。
唐朴祁（左）与张益唐
唐朴祁希望帮助张益唐重返学术界。张益唐有一位北大数学系师弟葛力明，在新罕布什尔大学担当教授。唐朴祁找到葛力明，然后葛力明向系主任推举张益唐来讲微积分。系主任请张益唐来口试，这时唐朴祁和葛力明创造找不到张益唐，不知道他又到哪里打工去了。
葛力明
经由一番周折，葛力明在美国南方的一个赛百味快餐店联系上了张益唐。两三天后，张益唐就开车来到了东北部的新罕布什尔大学，他把自己的全部家当都在车上带来了。
就这样，44岁的张益唐开始在新罕布什尔大学担当临时讲师。这是博士毕业之后，张益唐第一次靠近学术事情——只管只是每学期上4门课，按日结薪，收入比教授低得多，没有研究经费。但这些都不主要，至少那里有办公室，乃至有纸和笔就足矣。
2001年，张益唐在《杜克数学期刊》（Duke Mathematical Journal）上揭橥了一篇论文，研究的是黎曼猜想，它是数学中最著名、最困难、最主要的未解之谜之一。原来这些年里，无论在送外卖还是在打地铺，张益唐一贯在思考这个大问题。
系主任阿佩尔（Kenneth Ira Appel，1932 - 2013）想以这篇文章提拔张益唐为固定职位。顺便说一句，阿佩尔是一位天下著名的数学家，他证明了四色定理。但他这个发起被其他人否定了，情由是：张益唐发的文章太少。
阿佩尔和一幅表现四色定理的舆图（https://www.telegraph.co.uk/news/obituaries/10158040/Kenneth-Appel.html）
事实上，到现在为止，张益唐统共只发过三篇论文。第一篇是1985年出国前在《数学学报》发的，第二篇是2001年在《杜克数学期刊》发的，这两篇研究的都是黎曼猜想。第三篇便是孪生质数猜想的打破。你看，他从来都没有研究过小问题！
爱因斯坦有一句名言：“我不能忍受这样的科学家，他们在一块木板上找到最薄的地方，然后在那里钻很多洞。”话虽如此，但绝大多数科学家为了职位和生存，还是难免做些妥协。
例如证明费马大定理的英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles），在1986年全力以赴投入这场冒险之前，就事先准备好了一些论文，每隔一段韶光发一篇，以免学校由于他长期不发论文把他开掉。直到1993年他公开了费马大定理的证明，大家才知道原来他在攻这个大问题。
怀尔斯和费马大定理
但张益唐就更加断交，他从来没有做过任何妥协。纵然在数学家当中，他对大问题的专注也是令人叹为不雅观止的。
2005年，张益唐50岁时，终于从临时讲师成为正式讲师，由于他的微积分讲得很好。按照正常的轨迹，他彷佛会在这个位置上平稳地退休。
英国数学大师哈代（Godfrey Harold Hardy，1877 - 1947）有一句名言：“比起其他任何艺术和科学，数学更是年轻人的游戏。”这是大家公认的，例如数学界的最高奖之一菲尔兹奖，就只颁发给40岁以下的数学家。哈代还有一句名言：“我从没见过哪个年过半百的数学家首创重大的数学进展。”
哈代
但显然，这是由于他没有见到张益唐。
2008年，一群天下顶尖的数论专家在美国国家数学科学研究所开了一个会，研讨如何占领一个主要问题：质数的最小间隔是否有限。美国数学家Daniel Goldston、匈牙利数学家János Pintz和土耳其数学家Cem Yildirim等人在这个问题上已经研讨多年，看起来只差末了一步了。
但谈论了一周之后，会议以失落败告终，这末了一步始终跨不过去。Goldston绝望地认为，自己在有生之年都不会得到答案了。
不过，张益唐并不知道这个会议。2010年，他在浏览这些数学家的事情时创造，离得出终极结论彷佛只剩一根头发丝的间隔了。这个问题他已断断续续想了多年。他后来对媒体说：“我有一种直觉，我没法去论证这种直觉。但直觉见告我，我该当可以做出来。”于是他停息了其他研究，把所有的精力投入到这个问题中。
2012年7月3日，一个阳光明媚的下午，张益唐在他的朋友、迈阿密大学音乐教授齐雅格的家里访问。在等待出发去看齐雅格指挥的音乐会时，张益唐到他家的后院，想看看那里时时出没的梅花鹿。鹿没有看到，张益唐却溘然看到了灵感。各种线索结合在一起，指出了一条超过头发丝间隔的道路。
2013年4月17日，张益唐把论文提交给最著名的数学杂志《数学年刊》（Annuals of Mathematics）。那位欣赏他的系主任阿佩尔在两天后去世，值得欣慰的是他已经知道了张益唐的成果。这篇论文的标题十分简洁，叫做《质数间的有界间隔》（Bounded gaps between primes）。择要也十分简洁，我翻译如下：
“本文证明了
个中pn是第n个质数。
我们的方法是对Goldston、Pintz和Yildirim最近关于相邻质数间小间隔的事情的改进。这个证明的一个紧张身分是Bombieri-Vinogradov定理的一个更强版本，它只在模不包括大的质因子时适用（拜会下面的定理2），不过对我们的目的足够了。”
《质数间的有界间隔》择要
这时，张益唐已经58岁了，依然默默无闻。我从来没见过科学家在这么大的年事成名的，更不用说数学家了。但从这时开始，与他干系的节奏骤然加快。
审稿人之一伊万尼克（Henryk Iwaniec）最初拿到这篇论文时，看了一眼就扔到一边，认为不可能是对的。然后，他又把论文拿出来，看了弁言部分，以为不像是在胡说八道。
伊万尼克
接着的一个星期，伊万尼克不断地给主编发邮件。第一次说，这文章有很好的想法。第二次说，这文章有非常非常好的想法。第三次说，这文章有非常非常非常好的想法。第四次说，这文章有可能是对的。再后来说，这文章很可能是对的。
第二个星期，伊万尼克把自己关了起来，按照张益唐的方法重新证明了一遍，以为该当是对的。第三个星期，他开始给论文逐字逐句地挑毛病，但末了的结论是：我彻底地研究了这篇文章，我创造，挑出一个最小的差错也非常困难。
《数学年刊》的审稿周期一样平常都很长，动辄以年计。但这篇文章3个星期就吸收了，创造了《数学年刊》创刊130年来吸收论文最快的记录！
质数的最小间隔有上限，而人的奋斗没有上限。正如《三国演义》中，诸葛亮给周瑜写的祭文中的一句话：
“始不垂翅，终能奋翼！
”
张益唐在知道文章被吸收后，见告他太太把稳最近的媒体宣布，“你可能会在上面看到我的名字”。他太太回答说：“你是不是喝醉了？”然后，她果真看到了张益唐的名字。
2013年5月14日，《自然》杂志在“打破性新闻”栏目里，宣告一个主要的数学猜想被敲开了大门。5月20日，《纽约时报》大篇幅宣布了张益唐，引起了天下轰动。
各种名誉和职位蜂拥而来。除了菲尔兹奖由于年事限定他拿不到，其他能拿的奖险些拿了个遍。他在新罕布什尔大学直接升级为正教授，2016年又转到了加州大学圣塔芭芭拉分校（University ofCalifornia, Santa Barbara，简称UCSB）。
然而张益唐还是那个张益唐。
成名前，他常常给新罕布什尔大学数学系的饮水机换水，以是秘书老太太对他的印象不错。他成名后，老太太问葛力明，张益唐还会连续给系里换水吗？葛力明说会的。葛力明果真很理解张益唐。事实上，直到转去UCSB的前两天，他还给系里换了水。
转到UCSB三年来，他彷佛连学校的启动经费都没有申请完，由于他只须要纸和笔，没地方费钱。他的研究风格也依然如故，只关注大问题，对小问题不屑一顾。
实在，7千万只是一个粗略的估计。张益唐并没有挖掘出他的方法的全部潜力，由于最主要的是存在这样一个有限的数，而不是这个数的大小。一旦知道存在上限，人们就会探求各种各样的办法来改进这个估计。著名的华人数学家、菲尔兹奖得到者陶哲轩倡议建立了一个群策群力的项目“PolyMath8”，便是让大家来做这件事。
陶哲轩
在张益唐的论文揭橥两个星期后的2013年5月28日，这个数就低落到了6000万。5月31日，低落到了4200万。6月2日，1300万。6月3日，500万。6月5日，40万。到2014年2月，这个数被降落到了246，现在暂时定格在这上面。
PolyMath8项目的当前记录（http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes）
以目前的方法，这大概便是极限了。再往下，该当还须要新的思想。以是对付孪生质数猜想，我们现在的最佳结果便是：存在无穷多对质数，它们的间隔不超过246。
但张益唐完备没有参与这方面的事情。在做出7千万的打破后，他就从这个领域离开了。显然，这种改进性子的事情在他看来品位和吸引力不足高。菲尔兹奖得到者乐于干的事情，他都看不上！
张益唐在干什么呢？他又回到了自己绝大部分韶光都在思考的大问题：黎曼猜想。实在孪生质数猜想对他来说只是一个插曲，他真正最关心的还是黎曼猜想。详细地说，他在研究与广义黎曼猜想（generalized Riemann hypothesis）有关的朗道-西格尔零点猜想（Landau-Siegel Zeros conjecture）。
这个问题的主要性何在呢？
张益唐说：“对付数论学家来讲，有两个宇宙。在第一个宇宙里，不存在朗道-西格尔零点。但在第二个宇宙里，存在此零点。我们的困惑是，不知道我们到底生活在哪个宇宙里面。”
他的同事、数论学家Stopple阐明说，如果张益唐能证明朗道-西格尔零点猜想，“就像是同一个人被闪电劈中两次”，“如果他从未成名，那么做出这项事情也会让他跟上次一样被天下瞩目”。
张益唐对自己能办理朗道-西格尔零点猜想充满信心，认为没有大的障碍，剩下的都只是技能性问题。有人问他如何看待哈代对数学家年事的不雅观点，他的回答是：
“这个说法可能对我并不适用。我仍旧相信我的直觉，我仍旧对自己有信心。我仍旧有不少愿景。”
这让我想起今年以97岁高龄得到诺贝尔化学奖的John B. Goodenough。这位老爷子每次接管采访的时候，都说自己还想实现某个科学目标，“我才90几岁，我还有韶光！
”然后哈哈大笑。
诺贝尔奖网站上Goodenough的图片（https://www.nobelprize.org/prizes/chemistry/2019/goodenough/facts/）
在历史上，有很多科学家终生投身于大问题，但一无所获。例如匈牙利数学家F. 鲍耶（Farkas Bolyai，1775- 1856），他生平都在考试测验证明欧几里得几何的第五公设，没有成功。不过他的儿子J. 鲍耶（János Bolyai，1802 - 1860）从中受到了启示，干脆推翻这条公理，首创了非欧几何。能在历史上留下名字的人都是幸运的，更多这样的勇士我们不知道姓名，但无论如何，他们的精神值得崇敬。
J. 鲍耶
张益唐不但给我们留下了一个“始不垂翅，终能奋翼”的传奇，而且他的宠辱不惊也耐人寻味。无论是穷到吃土，还是接管校友师弟的帮助，他都坦然处之。而无论是盛名还是大奖，也没有改变他的谦和淡泊。各界人士对他的激情亲切帮助，以及他成名后对社会的激情亲切反馈，都充满了人性的光辉。正如《论语》里孔子夸奖颜回的名言：
“贤哉，回也！
一箪食，一瓢饮，在陋巷，人不堪其忧，回也不改其乐。贤哉，回也！
”
附录：对质数无穷多的证明
质数有无穷多个，这是《几何原来》第九篇的第20个命题。为什么是这样呢？欧几里得用反证法给出了一个经典的证明：
如果质数的个数是有限的，那么把这个个数记为n，把所有的n个质数记为p1、p2等等，直到pn。
现在考虑一个数q，它即是p1乘以p2等等，一贯乘到pn，末了再加上1。叨教，q是不是质数？
如果q是质数，那么它便是一个新的质数。这就跟条件的假设“质数只有n个”抵牾。
而如果q不是质数，那么它可以分解质因数。但它的质因数显然不是p1到pn中的任何一个，以是我们还是得到了新的质数，仍旧跟条件的假设“质数只有n个”抵牾。
由此可见，条件的假设是缺点的。质数不可能只有有限个，也便是说有无限个。证毕。
你看，这是多么精妙的思想！
任何能够理解的人，都会被这种思维的魅力深深吸引，体会到一种不可代替的美感。
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作者简介：本文作者袁岚峰，中国科学技能大学化学博士，中国科学技能大学合肥微尺度物质科学国家研究中央副研究员，科技与计策风云学会会长，青年科学家社会任务同盟理事，中国无神论学会理事，安徽省科学技能协会常务委员，微博@中科大胡不归，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。
任务编辑：孙远
